1、为什么要写这篇文章

绝大多数信号与系统的教材，在讲从连续到离散的时候，都是通过采样来讲的，然后引出采样定理与奈奎斯特频率。

这的确是一个非常好的思路，明确指出了任何一个频率受限（有限带宽）的连续时间信号，在采样成离散时间信号之后，信息没有任何损失。在数学上，我们可以通过采样后的离散时间信号重构出原连续时间信号。

然而，在实际应用时，会有如下矛盾：

1. 任何一个有限带宽的信号，在时域一定是无穷长的，这意味着我们无法用计算机保存它。
2. 计算机只能处理有限长的离散序列，因此只能计算一种傅里叶变换——离散傅里叶变换（DFT）。连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）实际上都是不可计算的。

我们计算一串有限长离散序列的DFT时，本质上计算的是一个周期信号的频谱。而这一串有限长的离散序列，往往来自于实际中连续时间信号的采样。这么说的话，我们计算出来的频谱到底与原信号的频谱是什么关系，好像并不是那么显然，需要仔细考虑一下，才知道到底计算了个什么东西。

这篇文章将会回答这些问题。

2、泊松求和公式

先来翻译一段英文的维基百科：

In mathematics, the Poisson summation formula is an equation that relates the Fourier series coefficients of the periodic summation of a function to values of the function’s continuous Fourier transform. Consequently, the periodic summation of a function is completely defined by discrete samples of the original function’s Fourier transform. And conversely, the periodic summation of a function’s Fourier transform is completely defined by discrete samples of the original function. The Poisson summation formula was discovered by Siméon Denis Poisson and is sometimes called Poisson resummation.

今天就先开个头，未完待续……