

1、为什么要写这篇文章
绝大多数信号与系统的教材,在讲从连续到离散的时候,都是通过采样来讲的,然后引出采样定理与奈奎斯特频率。
这的确是一个非常好的思路,明确指出了任何一个频率受限(有限带宽)的连续时间信号,在采样成离散时间信号之后,信息没有任何损失。在数学上,我们可以通过采样后的离散时间信号重构出原连续时间信号。
然而,在实际应用时,会有如下矛盾:
- 任何一个有限带宽的信号,在时域一定是无穷长的,这意味着我们无法用计算机保存它。
- 计算机只能处理有限长的离散序列,因此只能计算一种傅里叶变换——离散傅里叶变换(DFT)。连续时间傅里叶变换(CTFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)实际上都是不可计算的。
我们计算一串有限长离散序列的DFT时,本质上计算的是一个周期信号的频谱。而这一串有限长的离散序列,往往来自于实际中连续时间信号的采样。这么说的话,我们计算出来的频谱到底与原信号的频谱是什么关系,好像并不是那么显然,需要仔细考虑一下,才知道到底计算了个什么东西。
这篇文章将会回答这些问题。
2、泊松求和公式
先来翻译一段英文的维基百科:
In mathematics, the Poisson summation formula is an equation that relates the Fourier series coefficients of the periodic summation of a function to values of the function’s continuous Fourier transform. Consequently, the periodic summation of a function is completely defined by discrete samples of the original function’s Fourier transform. And conversely, the periodic summation of a function’s Fourier transform is completely defined by discrete samples of the original function. The Poisson summation formula was discovered by Siméon Denis Poisson and is sometimes called Poisson resummation.
今天就先开个头,未完待续……
客官留步,在这儿说点什么吧~